Newton(ニュートン)2018年11月号

微分、即ちdx／dtとは変位の時間変化率、つまり速度なのです。このように微分という計算法は、瞬間の変化率を求めるものです。瞬間とは時間を最も細かい尺度で刻んだ場合の一瞬であり、サンスクリット語では一刹那ともいいますが、それは不可避的に動きを伴うので、ベクトル概念と親和的です。だから、瞬間の力はどう計算するかといえば、ニュートンの運動方程式よりＦ=ma、そこでＦ（瞬間）=ｍ(d2x／dt2）です。加速度は大きさや向きがしょっちゅう変わっていますから、必然的に瞬間の値を求めざるをえないのです。そんなわけで、力学的な微分方程式は(d2x／dt2)＋αx=0です。その解形式はとりあえず、x=Ａcos（kt)＋Ｂsin(kt)などと書けるでしょう。A,Bは振幅、kは周期です。一方、積分はその逆の操作なので、記号で示せば、∫（dx／dt）dt=x＋Ｃなのです。ここで、Ｃは積分定数といい、再度逆に微分すると消える任意定数であります。この操作を不定積分といい、または上限と下限を定めて数値を求める方法を定積分といいます。例えば、1次関数ｙ＝ｆ（x）＝ax＋bについて、∫ｙdx＝（1／2）ａx2＋bx＋Ｃなので、∫（0→1）ｙdx＝（1／2）a(1-0)＋b(1-0)＝（1／2）a＋bなどとなるでしょう。落体運動において、v=v0＋ｇtを積分すると、x=x0＋v0t＋（1／2)gt2となり、t[秒]後の位置が出ます。如上のように、微分・積分は逆演算であり、一般には微分可能であれば、元に戻すことを積分といっていますが、必ずしも積分できない場合もあるので、要注意でしょう。例えば、ガウス積分や楕円積分などはその例です。数値積分するか、またはそのままの形で置いておくほかない場合です。それでは、本書をよくご覧になり、微分・積分という演算への理解を深めてもらえれば、と思います。因みに、微分・積分は併せて解析分野に属しますが、時空の境目が不明瞭になりそうな際どい領域で成り立つ概念であることを申し添えておきます。したがって、後で偏微分ということも学習するのです。しかし、まずは一変数でこの計算法に習熟することをおすすめしておきます。